miércoles, 8 de agosto de 2007
matematica
CONJUNTOS
La teoría de conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue
realizado por el matemático alemán Georg cantor en el
Siglo XIX y más tarde reformulada por Ernst Zermelo.
Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o
nuestra mente. Georg Cantor.
Conjunto es una colección de objetos con alguna propiedad que los identifique.
Un conjunto esta bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.
EL conjunto universal, Universo, es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando.
Existe un único conjunto que no tiene elementos al que se le llama conjunto vacío y que se denota por Ø. Es decir:
Ø = { }
realizado por el matemático alemán Georg cantor en el
Siglo XIX y más tarde reformulada por Ernst Zermelo.
Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o
nuestra mente. Georg Cantor.
Conjunto es una colección de objetos con alguna propiedad que los identifique.
Un conjunto esta bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.
EL conjunto universal, Universo, es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando.
Existe un único conjunto que no tiene elementos al que se le llama conjunto vacío y que se denota por Ø. Es decir:Ø = { }
Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual,
tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos.
Los representaremos con una letra minúscula: a, b, k,...
tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos.
Los representaremos con una letra minúscula: a, b, k,...
De esta manera, si A es un conjunto, y a, b, c ,d ,e todos sus elementos, es común escribir:
A = {a, b, c ,d ,e}
Para definir a tal conjunto A. Esta notación empleada para definir al conjunto A se llama notación por extensión.
Para representar que un elemento x pertenece a un conjunto A, escribimos x E A (léase "x en A", "x pertenece a A" o bien "x es un elemento de A"). La negación de x E A se escribe X É A (léase X no pertenece a A ).
La caracteristica importante de este conjunto es que satisface todos los elementos posibles no están contenidos en él, es decir
V x x É Ø
Por otro lado, si todos los elementos de un conjunto A satisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposición p, con la indeterminada , usamos la notación por comprensión, y se puede definir:
A={x e U l p}
Lo anterior se lee "A es el conjunto de elementos x en el Universo, que cumplen la propiedad p (x)". El símbolo ":" se lee "que cumplen la propiedad" o "tales que"; este símbolo puede ser remplazado por una barra.
Por ejemplo, el conjunto
A={1,2,3,4}
puede definirse por:A={n E N: 1 <>
Donde el símbolo N representa al conjunto de los números naturales.
El uso de algún conjunto U es muy importante, ya que de no hacerlo se podría caer en contradicciones como ejemplo
M={x : x È x}
Es decir, M es el conjunto donde cada elemento x satisface la propiedad x È x. Al principio uno podría creer que ningún conjunto puede estar contenido en sí mismo y que por lo tanto M no contiene elemento alguno; sin embargo, en vista de que M es un conjunto, cabe hacer la pregunta "¿M E M?" Si la respuesta es negativa (M E/ M) entonces M cumple la propiedad x È x y por lo tanto M E M. Si por el contrario la respuesta es afirmativa (M E M), entonces M no cumple con la propiedad x E x y por esta razón M È M. Esta paradoja es muy famosa y se conoce como la paradoja del barbero esta es una de las tantas incongruencias que tenía la teoría de Cantor.
Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos
Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, lo que se escribe A = B si constan de los mismos elementos. Es decir, siempre que para cualquiera que sea el elemento x, se verifique.
X E A<----> x E B
Subconjuntos y superconjuntos
Un conjunto A se dice que es subconjunto de otro B, si cada elemento de A es también elemento de B, es decir, cuando se verifique:
x E a --> x E B,
sea cual sea el elemento X . En tal caso, se escribe A C B .
Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si A C_ B, se cumpla A = B. Si B tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto A, pero si todo elemento de A es elemento de B, entonces decimos que A es un subconjunto propio de B, lo que se representa por A C B.
Si A es un subconjunto de B, decimos también que B es un superconjunto de A, lo que se escribe A C_ B. Así pues
B C_ A <----> A C_ B,
Y también que:
B ) A <-----> A ( B ,
significando B ) A que B es superconjunto propio de A.
Por el principio de identidad, es siempre cierto x E A --> x E A, para todo elemento x, por lo que todo conjunto es subconjunto (y también superconjunto) de sí mismo.
Vemos que ( es una relación de orden sobre un conjunto S de conjuntos, pues
A ( A [ ( es reflexiva]
A ( B ^ B ( A --> A = B [ ( es antisimetrica]
A ( B ^ B ( C --> A ( C [ ( es transitiva]
Operaciones de Conjuntos
UNION
Diagrama de Venn que ilustra A U B.
Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto que se denota como A U B el cual contiene todos los elementos de A y de B. De manera más general, para cada conjunto S existe otro conjunto denotado como US de manera que sus elementos son todos los x E X tales que X E S. De esta manera A U B es el caso especial donde S={A,B}.
Es claro que el hecho de que un elemento x pertenezca a A U B es condición necesaria y suficiente para afirmar que x es un elemento de A o al menos de B. Es decir
x E (A U B) <----> (x E A ) V (x E B)
Ejemplos: si tenemos los conjuntos
A={$, @, 6 }
B={*,6, + , # }
C={#,14,*,¡}
S={A,B,C}
Entonces
A U B={$,@,6,*,+,#}
A U C={$,@,6,#,14,*,¡}
Us ={$,@,6,*,+,#,14,¡}
A U Ø= A
Interseccion
Los elementos comunes a A y B forman un conjunto denominado intersección de A y B, representado por A n B . Es decir, A n B es el conjunto que contiene a todos los elementos de A que al mismo tiempo están en B:
A n B = {x E A : x E B}.
Si dos conjuntos A y B son tales que A n B = Ø , entonces A y B se dice que son conjuntos disjuntos.
Es claro que el hecho de que x E A n B es condición necesaria y suficiente para afirmar que x E A y x E B . Es decir
x E(A n B)<---->(x E A) ^ (x E B)
Ejemplos: si tenemos los conjuntos
A={2,4,6}
B={4,6,8,10}
C={10,14,16,26}
Entonces:
A n B= {4,6}
A n C = Ø
A n Ø = Ø
Diferencia
Los elementos de un conjunto A que no se encuentran en otro conjunto B , forman otro conjunto llamado diferencia de A y B , representado por A \ B. Es decir:
A \ B={x E A: x É B}.
.
o dicho de otra manera:
x E (A \ B) <-----> (x E A) ^ (x É B)
Algunas personas prefieren denotar la diferencia de A y B como A - B.
Una propiedad interesante de la diferencia es que
A n B= A \ (A \B)
eso es porque
x E A n B <-----> (x E A) ^ (x E B)
<-----> (x E A) ^ (x É A \ B)
<-----> x E A \ (A \ B)
Ejemplos: Sin importar cual conjunto A elija usted, siempre se cumple
A \ Ø = A
Ø \ A = Ø
{0,1,2,3} \{3,2} = {0,1}
Complemento
El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a algún conjunto U pero no pertenecen a A, que lo representaremos por A c. Es decir
Ac= U \ A
El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.
En vista de que A C_ U y B C_ U, entonces
x E ( A \ B ) <---------> x E (B n AC),
De manera que
A \ B = A n Bc
Pero también
x E (B n AC <--------> x E B ^ x E Ac)
<--------> x E Ac ^ x E B
<--------> x E Ac ^ x É Bc
<--------> x E ( Ac \ Bc)
De modo que
B \ A = ( Ac \ Bc)
Diferencia simétrica
Los elementos de dos conjuntos,A y B a excepción de aquellos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos se define la Diferencia simétrica.
B ¡ A= (B \ A) U (A\ B)
Álgebra de conjuntos
Álgebra de conjuntos
Álgebra de conjuntos
Sean A, B, y C conjuntos cualesquiera y U un conjunto tal que A C_ U, B C_ U y C C_ U entonces:
- A n A = A
- A U A = A
- A \ A = Ø
- A n B = B n A
- A U B = B U A
- ( A n B ) n C = A n (B n C)
- ( A U B ) U C = A n (B U C)
- C \ ( A n B ) = (C \ A ) U (C \ B)
- C \ ( A U B ) = (C \ A ) n (C \ B)
- C \ ( B \ A ) = (A n C ) U (C \ B)
- ( B \ A ) n C = (B n C ) \ A = B n (C \ A)
- ( B \ A ) U C = (B U C ) \ (A \ C)
- A C_ B = <------> A n B = A
- A C_ B = <------> A U B = B
- A C_ B = <------> A \ B = Ø
- A n B = Ø <------> B \ A = B
- A n B C_ A C_ A U B
- A n Ø = Ø
- A U Ø= A
- Ø \ A = Ø
- A \ Ø = A
- (Ac)c = A
- A \ B = A n Bc
- (B \ A)c = A U Bc
Producto cartesiano de conjuntos
Un par ordenado de números es tal si los pares y son uno mismo si y sólo si x = y .
Dados dos conjuntos A y B, definimos al conjunto producto ( o producto cartesiano) de A y B (en ese orden), representado por A X B, como el conjuntoA X B = {(x , y) x E A ^ y E B}
Ejemplo
Sean S={1,2,3} y R= {a , b , c} . Así,S X R = {(1 , a) , (1 , b) , (1 ,c) , (2 , a) , (2 , b) , (2 , c) , (3 , a) ,
Ya que el producto cartesiano está formado de pares ordenados (donde el orden de los componentes importa), resultaA X B = B X A <-------> A = B
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